Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，2t]（t＞0）上的单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＜ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

，因此f（x）在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增．再对t与

1

2e

，

1

e

的大小关系分类讨论即可得出；
（2）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a．由题意可得：y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点．利用导数研究函数G（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

，
∴f（x）在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增．
（i）当0＜t≤

1

2e

时，函数f（x）在[t，2t]上递减；
（ii）当

1

2e

＜t＜

1

e

时，函数f（x）在[t，

1

e

]上递减，在[

1

e

，2t]上递增；
（iii）当t≥

1

e

时，函数f（x）在[t，2t]上单调递增．
（2）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
由题意可得：y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点．
∵G′（x）=-

1

x

+2，
∴G（x）在（0，

1

2

）上单调递减，在（

1

2

，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）_min=G（

1

2

））=ln2时，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值随着a的增大而增大，
而当x₂-x₁=ln2时，由题意可得

lnx1-2x1+1+a=0 lnx2-2x2+1+a=0

，
两式相减可得ln

x1

x2

=-2（x₂-x₁）=-2ln2，
∴x₂=4x₁代入上述方程可得x₂=4x₁=

4

3

ln2，
此时a=

2

3

ln2-ln（

ln2

3

）-1，
∴a＜

2

3

ln2-ln（

ln2

3

）-1，
综上可得：实数a的取值范围为ln2＜a＜

2

3

ln2-ln(

ln2

3

)-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．