Question

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥g₁（x）；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥g₂（x）；
（Ⅲ）当x≥0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并证明．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1，从而得到φ1′(x)=ex-1．由此利用导数性质能证明f（x）≥g₁（x）．
（Ⅱ）设φ2(x)=f(x)-g2(x)=ex-1-x-

x2

2

φ2′(x)=ex-1-x，φ2′(x)≥0，由此能证明f（x）≥g₂（x）
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥g_n（x）．用数学归纳法证明即可．

解答： （Ⅰ）证明：设φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1，所以φ1′(x)=ex-1．
当x＜0时，φ1′(x)＜0，当x=0时，φ1′(x)=0，当x＞0时，φ1′(x)＞0．
即函数φ₁（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
在x=0处取得唯一极小值，
因为φ₁（0）=0，所以对任意实数x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0．
即f（x）-g₁（x）≥0，所以f（x）≥g₁（x）．
（Ⅱ）证明：设φ2(x)=f(x)-g2(x)=ex-1-x-

x2

2

φ2′(x)=ex-1-x，
由（1）知φ2′(x)≥0，所以φ₂（x）在[0，+∞）单增，
φ₂（x）≥φ₂（0）=0，所以f（x）≥g₂（x）
（Ⅲ）解：当x≥0时，f（x）≥g_n（x）．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）知f（x）≥g₁（x）；
②假设当n=k（k∈N₊）时，对任意x≥0均有f（x）≥g_k（x），
令φ_k（x）=f（x）-g_k（x），φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x），
，φ′_k+1（x）=f'（x）-g'_k+1（x）=f（x）-g_k（x），
由归纳假设知，φ′_k+1（x）=f（x）-g_k（x）≥0，
即φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上为增函数，
亦即φ_k+1（x）≥φ_k+1（0），
因为φ_k+1（0）=0，所以φ_k+1（x）≥0．
从而对任意x≥0，有f（x）-g_k+1（x）≥0，
即对任意x≥0，有f（x）≥g_k+1（x），
这就是说，当n=k+1时，对任意x≥0，也有f（x）≥g_k+1（x）．
由①，②知，当x＞0时，都有f（x）≥g_n（x）．

点评：本题考查不等式的证明，考查两数大小的判断与证明，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．