已知函数f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）当a=4时，证明：函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销量可以达到15-0.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格．
（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180万元，求售价为100元时的销售总利润；
（2）若k=10，求销售这套商品总利润的函数f（x），并求f（x）的最大值．

过双曲线x²-

y2

b2

=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与该双曲线的其中一条渐近线相交于点（

1

2

，y₀），则该双曲线的离心率是．

双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），斜率为2的直线l过双曲线C₁的右焦点，且与双曲线C₁左右支各有一个交点，则双曲线C₁离心率取值范围．

有两个投资项目A、B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式f（x）和g（x），求y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内围成封闭图形的面积；
（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10-x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．

给出下列定义：
①对于函数f（x），若存在x₀∈R使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点；
②若函数的定义域区间与值域区间完全相同，则称该区间为函数的保值区间．
设函数f（x）=x²-2ax+a²+a（x∈R），则该函数有（　　）

定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1〕，时f（x）=

x

，则函数g（x）=3f（x）-x，在R上的零点个数是（　　）

试就实数k的取值，讨论|x²-2x-3|=k的解的个数．

O点为圆O的圆心，点A，B在圆O上，且点A在第一象限，点B（-

3

5

，

4

5

），点C为圆O与x轴正半轴的交点，设∠COB=θ，求sin2θ的值．