Question

试就实数k的取值，讨论|x²-2x-3|=k的解的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：先画出函数y=|x²-2x-3|及y=k的图象，利用图象容易是问题获得解答．

解答： 解：先做出函数y=x²-2x-3的图象，易知y=（x-1）²-4
然后保留其x轴上方的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对称上来，即可得到y=|x²-2x-3|的图象，
则原方程根的个数即为y=|x²-2x-3|的图象与y=k图象交点的个数．
如图：
（1）当k＜0时，直线y=k与函数y=|x²-2x-3|无交点，故原方程无根；
（2）当k=0或k＞4时，直线y=k与函数y=|x²-2x-3|有两个交点，故原方程有两个实数根；
（3）当k=4时，直线y=k与函数y=|x²-2x-3|有三个交点，故原方程有三个实数根；
（4）当0＜k＜4时，直线y=k与函数y=|x²-2x-3|有四个交点，故原方程有四个实数根．

点评：此题考查了方程的根、函数的零点之间的关系，一般采用数形结合的思想方法解决．