题目内容
有两个投资项目A、B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式f（x）和g（x），求y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内围成封闭图形的面积；
（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10-x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
（1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式f（x）和g（x），求y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内围成封闭图形的面积；
（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10-x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据实际问题，根据题意建立函数关系式，根据函数的解析式，利用积分的几何意义即可得到结论．
（2）根据（1）结合自变量的取值范围，结合二次函数的性质即可得到结论．
（2）根据（1）结合自变量的取值范围，结合二次函数的性质即可得到结论．
解答：
解：（1）设投资x万元，A项目的利润为f（x）万元，B项目的利润为g（x）万元，
由题意设f（x）=kx，g（x）=m
，
由图象可知f（1）=k=
，g（4）=
，解得m=
，
故f（x）=
x，（x≥0），g（x）=
，（x≥0），
由
，解得
或
，
则由积分的几何意义可得S=
[g(x)-f(x)]dx=
(
-
x)dx=
（
x
-
x2）|
=
．
（2）h（x）=f（x）+g（10-x）=
x+
，（0≤x≤10），
令t=
，则y=
+
t=-(t-
)2+
，（0≤x≤10），
则当t=
时，函数h（x）取得最大值
，此时x=3.75
由题意设f（x）=kx，g（x）=m
| x |
由图象可知f（1）=k=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
故f（x）=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| x |
由
|
|
|
则由积分的几何意义可得S=
| ∫ | 25 0 |
| ∫ | 25 0 |
| 5 |
| 4 |
| x |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 10 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
25 0 |
| 625 |
| 24 |
（2）h（x）=f（x）+g（10-x）=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 10-x |
令t=
| 10-x |
| 10-t2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 65 |
| 16 |
则当t=
| 5 |
| 2 |
| 65 |
| 16 |
点评：本题主要考查函数最值的应用，利用条件建立函数关系是解决本题的关键．
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