Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）当a=4时，证明：函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=4时，函数f（x）=x+

4

x

，利用函数的单调性的定义，证明函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．
（2）令f′（x）=1-

a

x2

≥0，求得f（x）的增区间为[a，+∞），再函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，可得a的范围．

解答： 解：（1）当a=4时，函数f（x）=x+

4

x

，设x₂＞x₁≥2，则有 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1•x2

 
=（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

），
∵x₂＞x₁≥2，∴x₁-x₂＜0，1-

4

x1•x2

＞0，∴（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．
（2）令f′（x）=1-

a

x2

≥0，可得x²≥a，故f（x）的增区间为[a，+∞），若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
则有a≤4．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，函数的单调性的性质，属于基础题．