椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

6

3

，并与直线y=x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过圆D：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n． 求证：m⊥n．

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：
Q=

50-10(x-8)，8≤x＜13 39(2x2-29x+107)，(5＜x＜7) 198-6x x-5 ，(7≤x＜8)

（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

已知函数f（x）=

0，|x|≤1 2x 1+2x ，|x|＞1

，那么f（1）+f（2）+f（-2）+f（3）+f（-3）+f（4）+f（-4）=．

已知函数f（x）=2xlnx+x²-ax+3，其中a∈R．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]（e=2.718…）上恒成立，求a的取值范围．

若n∈N^*，求证

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx-26（a，b∈R）在x=-3和x=2处取到极值．
（1）求a，b和f（-3）-f（2）的值；
（2）求最大的正整数t，使得?x₁，x₂∈[-t，t]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤125与|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125同时成立．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

k(x-1)

x

．
（1）当k=e时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．

如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=

π

3

．
（Ⅰ）求证：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

已知函数f（x）=

(4- a 2 )x+4(x≤6) ax-5(x＞6)

，（a＞0，a≠1）．若数列{a_n}满足a_n=f（n）且a_n+1＞a_n，n∈N^*，则实数a的取值范围是（　　）

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+b（e=2.71828…是自然对数的底数，a，b∈R）．
（1）求函数 y=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，若函数 y=

1

f(x)+g(x)

在（-1，+∞）上有意义，求b的取值范围；
（3）如果0≤a≤

1

2

，b=1，求证：当x≥0时，

1

f(x)

+

x

g(x)

≥1．