Question

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx-26（a，b∈R）在x=-3和x=2处取到极值．
（1）求a，b和f（-3）-f（2）的值；
（2）求最大的正整数t，使得?x₁，x₂∈[-t，t]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤125与|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125同时成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），由题意得f′（-3）=0，f′（2）=0，解方程组即可求得a，b值，
代入求得f（-3）-f（2），
（2）先求出得?x₁，x₂∈[-t，t]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤125的t的最大值，再求出?x₁，x₂∈[-t，t]时，|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125的最大值，问题得解决．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，
因为函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
所以

f′(-3)=0 f′(2)=0

，即

54-6a+b=0 24+4a+b=0

解得a=3，b=-36，
∴f（x）=2x³+3x²-36x-26，
∴f（-3）=55，f（2）=-70
∴f（-3）-f（2）=125．
（2）由（1）知，f′（x）=6x²+6ax-36=6（x+3）（x-2）=6（x+

1

2

）²-

75

2

，
∵f′（x）=0的两个根为-3和2，
∴f（x）在（-∞，-3）和（2，+∞）上单调递增，在（-3，2）上单调递减，
∴当x=-3时f（x）取得极大值，当x=2时f（x）取得极小值，
∴|f（-3）-f（2）|=125．
令f（x）=2x³+3x²-36x-26=55，
∴2x³+3x²-36x-81=0，
其有一个根为-3，则分解得：（x+3）²•（2x-9）=0，
解得x=-3或x=

9

2

，
令f（x）=2x³+3x²-36x-26=-70，
∴2x³+3x²-36x+44=0，
其有一个根为3，则分解得：（x-2）²•（2x+11）=0，
解得x=2或x=-

11

2

，
则要使得?x₁，x₂∈[-t，t]时|f（x₁）-f（x₂）|≤125，必须满足0＜t≤

9

2

，
∵t为正整数，
∴t最大为4．
另一方面，f′（x）=6x²+6ax-36=6（x+

1

2

）²-

75

2

，
由于t∈Z，要使得?x₁，x₂∈[-t，t]时|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125成立，
则f′（t）-（-

75

2

）≤125，
即6t²+6t-36-（-

75

2

）≤125，
∴12t²+12t-247≤0，
令g（t）=12t²+12t-247，
则g（4）=-7＜0，g（5）=113＞0，
要使得?x₁，x₂∈[-t，t]时|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125成立，
t≤4，
综上所述，最大的正整数t为4．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及求函数在闭区间上的最值问题，考查函数恒成立问题，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．