Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+b（e=2.71828…是自然对数的底数，a，b∈R）．
（1）求函数 y=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，若函数 y=

1

f(x)+g(x)

在（-1，+∞）上有意义，求b的取值范围；
（3）如果0≤a≤

1

2

，b=1，求证：当x≥0时，

1

f(x)

+

x

g(x)

≥1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,其他不等式的解法

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数y=f（x）+g（x）=e^x+ax+b的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间；
（2）当a=-1时，只需e^x-x+b≠0即可，即函数y=e^x和函数y=x-b无交点，从而得到b的范围；
（3）先求出函数h（x）的导数，问题转化为只需证明h（0）为h（x）在（0，+∞）上的最小值，通过讨论a的范围，从而得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x，g（x）=ax+b，
∴y=f（x）+g（x）=e^x+ax+b，
∴y′=e^x+a，
当a≥0时，y′＞0，函数y=f（x）+g（x）在（-∞，+∞）递增，
当a＜0时，令y′＞0，解得：x＞ln（-a），令y′＜0，解得：x＜ln（-a），
∴y=f（x）+g（x）在（-∞，ln（-a））递减，在（ln（-a），+∞）递增；
（2）当a=-1时，y=

1

f(x)+g(x)

=

1

ex-x+b

，
若函数 y=

1

f(x)+g(x)

在（-1，+∞）上有意义，
只需e^x-x+b≠0即可，即函数y=e^x和函数y=x-b无交点，
当y=e^x和y=x-b相切时，解得：b=-1，
∴b的范围是（-1，+∞）；
（3）如果0≤a≤

1

2

，b=1，则f（x）=e^x，g（x）=ax+1，
令h（x）=

1

f(x)

+

x

g(x)

=

1

ex

+

x

ax+1

，
∴h′（x）=-e^-x+

1

(ax+1)2

=

1-e-x(ax+1)2

(ax+1)2

，
显然h（0）=

1

f(0)

+

0

g(0)

=1，
故只需证明h（0）为h（x）在（0，+∞）上的最小值，
当a=0时，h（x）=

1

ex

+x，此时h′（x）=1-e^-x≥0，故h（x）_min=h（0）=1，
即h（x）≥1也即

1

f(x)

+

x

g(x)

≥1在x≥0时成立；
当0＜a≤

1

2

时，令k（x）=1-e^-x（ax+1）²，
则k′（x）=e^-x（ax+1）（ax+1-a），
∵0＜a≤

1

2

，∴ax+1≥1，ax+1-a≥1-a≥

1

2

，
又∵e^-x＞0，∴k′（x）＞0，
∴k（x）在0＜a≤

1

2

，x≥0时递增，
∴k（x）_min=1-e^-0=0，∴k（x）≥0，
从而h′（x）在x∈[0，+∞），0＜a≤

1

2

时恒有h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1，
综上，当x≥0，0≤a≤

1

2

，b=1时，

1

f(x)

+

x

g(x)

≥1．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．