Question

椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

6

3

，并与直线y=x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过圆D：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n． 求证：m⊥n．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过离心率得到a、b关系式，设出椭圆C的方程，利用直线y=x+2与椭圆相切，△=0．由此得b²=1；求出椭圆方程即可．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）．当x0=±

3

时，有一条切线斜率不存在，证明m⊥n．
设x0≠±

3

，则两条切线斜率存在．设直线m的斜率为k，则其方程为y-y₀=k（x-x₀），联立

x2

3

+y2=1，由△=0可得：(3-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0，由韦达定理得到k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

，由于点P在圆D：x²+y²=4上，得到3-

x

2 0

=-(1-

y

2 0

)，即可证明m⊥n．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

6

3

知a²=3b²，
椭圆方程可设为 

x2

3b2

+

y2

b2

=1．又直线y=x+2与椭圆相切，代入后方程4x²+12x+12-3b²=0满足△=0．由此得b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．----------------（6分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）．当x0=±

3

时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好y₀=±1，可见，另一条切线平行于x轴，m⊥n；----------------（7分）
设x0≠±

3

，则两条切线斜率存在．设直线m的斜率为k，则其方程为y-y₀=k（x-x₀）
即y=kx+y₀-kx₀．代入

x2

3

+y2=1并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0．---------------（9分）
由△=0可得：(3-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0---------------（11分）
注意到直线n的斜率也适合这个关系，所以m，n的斜率k₁，k₂就是上述方程的两根，由韦达定理，k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

．---------------（13分）
由于点P在圆D：x²+y²=4上，3-

x

2 0

=-(1-

y

2 0

)，所以k₁k₂=-1．这就证明了m⊥n．
综上所述，过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n，总有m⊥n．------（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与圆的位置关系，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．