Question

已知函数f（x）=2xlnx+x²-ax+3，其中a∈R．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]（e=2.718…）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数的导函数f'（x），然后求在x=1时的导数值，再与直线2x-y+1=0平行，斜率相等求得a的值，（Ⅱ）先将恒成立问题转化为a≥g（x），然后利用导数求g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2lnx+2+2x-a，
f'（1）=4-a=2⇒a=2．
（Ⅱ）f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]恒成立?a≥2lnx+x+

3

x

在x∈[

1

e

，e]恒成立，
令g(x)=2lnx+x+

3

x

，则求得g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值即可．
由g′(x)=

(x-1)(x+3)

x2

知，g（x）在[

1

e

，1]上递减，在[1，e]上递增，
故maxg(x)=max{g(

1

e

)，g(e)}=-2+

1

e

+3e．

点评：本题考察导数的基本应用，一是导数的几何意义即切线斜率，二是利用导数判定函数的单调性及求取最值，熟练掌握导数的应用是解决本类题目的关键．