Question

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：
Q=

50-10(x-8)，8≤x＜13 39(2x2-29x+107)，(5＜x＜7) 198-6x x-5 ，(7≤x＜8)

（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据利润=销售额-成本，写出总利润y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式，在每一段上讨论函数的最大值，从而求出整个函数的最大值．

解答： 解：（1）根据题意，得；
总利润y（元）与销售价x（件）的函数关系式是
y=

39(2x2-29x+107)(x-5)，5＜x＜7 198-6x x-5 (x-5)，7≤x＜8 [50-10(x-8)](x-5)，8≤x＜13

=

39(2x3-39x2+252x-535)，5＜x＜7 6(33-x)，7≤x＜8 -10x2+180x-650，8≤x＜13

；
（2）由（1）得：
当5＜x＜7时，y=39（2x³-39x²+252x-535），
∴y′=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7），
当5＜x＜6时，y′＞0，y=f（x）为增函数，
当6＜x＜7时，y′＜0，y=f（x）为减函数，
∴当x=6时，f（x）_max=f（6）=195；
当7≤x＜8时，y=6（33-x）∈（150，156]；
当8≤x＜13时，y=-10（x-9）²+160，
当x=9时，y_max=160；
综上知：当x=6时，总利润最大，最大值为195．

点评：本题考查了函数模型的应用问题，解题时列出函数解析式，从而分析函数的性质，是中档题目．