Question

若n∈N^*，求证

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：通过不等式的左侧的最后一项，利用基本不等式放大，然后求和即可．

解答： 证明：由题意可知

n(n+3)

＜

n+n+3

2

=n+

3

2

，
∴

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜(1+

3

2

)+(2+

3

2

)+(3+

3

2

)+…+(n+

3

2

)
=

3

2

n+(1+2+3+…+n)
=

3

2

n+

n(n+1)

2

=

1

2

n2+2n＜

1

2

n2+2n+2
=

1

2

(n+2)2．
∴n∈N^*，

1×4

+

2×5

+…+

n(n+3)

＜

1

2

(n+2)2．恒成立．

点评：本题考查不等式的证明，放缩法的应用，与自然数有关的命题也可以利用数学归纳法证明．考查逻辑推理能力以及计算能力．