已知焦点在y轴上的椭圆

x2

9

+

y2

m+9

=1的离心率为

1

2

，则m=．

已知数列{

1

(3n-2)(3n+1)

}的前n项和S_n．
（1）计算S₁、S₂、S₃、S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）对于任意的正整数n都有S_n＜m，求实数m的取值范围．

已知椭圆C的离心率为

2

2

，椭圆C的右焦点F₂和抛物线y²=4

2

x的焦点重合，椭圆C与y轴的一个交点为N，且F₁是椭圆C的左焦点．
（1）求证：△NF₁F₂是等腰直角三角形；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

，求点Q的轨迹方程．

写出一个满足若x＞y，则f（x）＞f（y）且f（x+y）=2f（x）f（y）的函数f（x）=．

已知△ABC的一边的长为2，其对角为

π

6

，则△ABC外接圆的面积为．

数列{b_n}满足：b_n+1=2b_n+2，b_n=a_n+1-a_n，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n的前n项和S_n．

某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y万元与升级改造的投入x（x＞10）万元之间满足函数关系：y=mlnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10（其中m为常数）若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元．试求该生产线升级改造后获得的最大利润．（利润=生产效益-投入）（参考数据：ln2=0.7，ln5=1.6）

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交与B，且AB=

1

3

AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

如图，已知S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，MN=5，AB=AD=SB=SA=6，且

AM

SM

=

DN

NB

=

1

2

．
（1）求MN与BC所成的角的余弦值；
（2）求证：MN∥平面SBC．

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（1）其求函数f（x）的极值；
（2）设函数k（x）=f（x）-g（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．