Question

数列{b_n}满足：b_n+1=2b_n+2，b_n=a_n+1-a_n，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出bn=2n+1-2．
（Ⅱ）由a_n-a_n-1=b_n=2ⁿ-2，n≥2，得an-an-1=2n-2，n≥2，由此累加得a_n=2ⁿ⁺¹-2n，由此能求出数列{a_n的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2），
∴

bn+1+2

bn+2

=2，
又b₁+2=a₂-a₁+2=4，
∴数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
即b_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
所以bn=2n+1-2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a_n-a_n-1=b_n=2ⁿ-2，n≥2，
∴an-an-1=2n-2，n≥2，
令n=2，3，4，…，n-1，
赋值累加得a_n-2=（2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1），
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2
=2ⁿ⁺¹-2n，
∴S_n=

4(1-2n)

1-2

-

n(2+2n)

2

=2ⁿ⁺²-（n²+n+4）．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．