Question

如图，已知S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，MN=5，AB=AD=SB=SA=6，且

AM

SM

=

DN

NB

=

1

2

．
（1）求MN与BC所成的角的余弦值；
（2）求证：MN∥平面SBC．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在平面SAB中过点M作SB的平行线交AB于E，连接EN，说明∠MNE就是MN与BC所成的角，在MNE中，由余弦定理，求解cos∠MNE．
（2）证明ME∥平面SBC，EN∥平面SBC，推出平面MNE∥平面SBC．然后证明MN∥平面SBC．

解答： 解：（1）在平面SAB中过点M作SB的平行线交AB于E，
连接EN，∴

AM

SM

=

AE

EB

，又

AM

SM

=

DN

NB

，∴EN∥AD，
所以∠MNE就是MN与BC所成的角．∵

AM

SM

=

DN

NB

=

1

2

，AB=AD=SB=SA=6，
∴在MNE中，MN=5，ME=2，NE=4，由余弦定理得cos∠MNE=

37

40

．
（2）由（1）知，ME∥SB，ME?平面SBC，SB?平面SBC，∴ME∥平面SBC，
∵EN∥AD，AD∥BC，∴EN∥BC，EN?平面SBC，BC?平面SBC，∴EN∥平面SBC，
∵EN?平面MNE，ME?平面MNE，EN∩ME=E，∴平面MNE∥平面SBC．
∵MN?平面MNE，MN∥平面SBC．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，平面与平面平行的性质定理，异面直线所成角的求法．考查空间想象能力以及计算能力、