Question

已知数列{

1

(3n-2)(3n+1)

}的前n项和S_n．
（1）计算S₁、S₂、S₃、S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）对于任意的正整数n都有S_n＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用条件，代入计算，可得S₁、S₂、S₃、S₄；
（2）猜想S_n的表达式，运用数学归纳法证明步骤进行证明；
（3）S_n=

n

3n+1

=

1

3

（1-

1

3n+1

），随着n增大，S_n增加，但S_n＜

1

3

，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）S₁=

1

4

，S₂=

2

7

，S₃=

3

10

，S₄=

4

13

；
（2）由（1）可以猜想S_n=

n

3n+1

①当n=1时，显然成立；
②假设n=k，S_k=

k

3k+1

，
当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

3k+1

+

1

(3k+4)(3k+1)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+4)(3k+1)

=

k+1

3k+4

，
说明n=k+1时，猜想也成立；
综合①②，猜想S_n=

n

3n+1

成立．
（3）S_n=

n

3n+1

=

1

3

（1-

1

3n+1

），随着n增大，S_n增加，但S_n＜

1

3

，由于S_n＜m对任意的正整数n成立，
所以m≥

1

3

即可．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．