Question

某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y万元与升级改造的投入x（x＞10）万元之间满足函数关系：y=mlnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10（其中m为常数）若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元．试求该生产线升级改造后获得的最大利润．（利润=生产效益-投入）（参考数据：ln2=0.7，ln5=1.6）

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：由题意，代入（20，35.7）可得35.7=mln20-4+

101

50

×20+ln10，从而求出m，计算利润函数，利用求导法求函数的最大值，从而得到最大利润．

解答： 解：由题意可得，
35.7=mln20-4+

101

50

×20+ln10，
解得，m=-1，
则y=-lnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10，（x＞10）
设利润为f（x）=y-x
=-lnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10-x
=-lnx-

1

100

x²+

51

50

x+ln10，（x＞10）
易得，
f′（x）=-

1

x

-

x

50

+

51

50

=

(x-50)(x-1)

50x

，
又∵x＞10，
∴当10＜x＜50时，f′（x）＞0，
当x＞50时，f′（x）＜0，
则x=50时，函数f（x）有最大值，
即f（50）=-ln50-

1

100

×（50）²+

51

50

×50+ln10=24.4（万元）
答：该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，及函数的最值的求法，属于中档题．