已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）与y=log₇x的图象的交点个数为．

合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50

3

米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

若向量

a

，

b

满足：|

a

|=1，（

a

+

b

）⊥

a

，（2

a

+

b

）⊥

b

，则|

b

|=．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是线段AD₁和B₁C上的动点，且满足AP=B₁Q，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①存在P、Q的某一位置，使AB∥PQ；
②△BPQ的面积为定值；
③当PA＞0时，直线PB₁与AQ是异面直线；
④无论P、Q运动到任一位置，均有BC⊥PQ；
⑤P、Q在运动过程中，线段PQ在平面BCC₁B₁内的射影所形成区域的面积为

1

2

．

已知函数f（x）=-alnx+

2a2

x

+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≥-e^-4．

已知函数f（x）=x²-2alnx（a∈R），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，2]上单调递增，求a的取值范围．

设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x²-6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（　　）

若从5名男歌手和4名女歌手中各选一人参加“星光大道”节目，则不同的选法种数是（　　）

若6个人排成前后两排，每排3人，则不同的排法有种．（要求用数字作答）

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱AB、BC上的点，且BM=BN，点P是棱A₁D₁上一点，A₁P=1，过P、M、N的平面与棱C₁D₁交于点Q，求PQ的长．