Question

已知函数f（x）=x²-2alnx（a∈R），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，2]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，（x＞0）．对a分类讨论：当a≤0时，f′（x）＞0，即可得出单调性；当a＞0时，分别解出令f′（x）＞0；令f′（x）＜0，即可得出单调性．
（II）g（x）=f（x）+2x=x²-2alnx+2x，g′（x）=2x+2-

2a

x

=

2x2+2x-2a

x

．由于g（x）在[1，2]上单调递增，g′（x）≥0在[1，2]上恒成立．转化为a≤x²+x，x∈[1，2]，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞

a

，函数f（x）在区间(

a

，+∞)上单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜

a

，函数f（x）在区间(0，

a

)上单调递减．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，函数f（x）在区间(

a

，+∞)上单调递增；函数f（x）在区间(0，

a

)上单调递减．
（II）g（x）=f（x）+2x=x²-2alnx+2x，
g′（x）=2x+2-

2a

x

=

2x2+2x-2a

x

．
由于g（x）在[1，2]上单调递增，∴g′（x）≥0在[1，2]上恒成立．
∴a≤x²+x，
∵x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

，在x∈[1，2]上单调递增，
∴（x²+x）_min=2．
∴a≤2．
∴a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．