Question

已知函数f（x）=-alnx+

2a2

x

+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≥-e^-4．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′（x）=-

a

x

-

2a2

x2

+1，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x垂直，可得切线在该点处的斜率k=-2．于是f′（1）=-2，又a＞0，解出a即可．
（II）令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x的范围即可得出单调区间．
（III）当a∈（-∞，0）时，由（II）可得：g（a）=-aln（-a）-3a．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=-

a

x

-

2a2

x2

+1，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x垂直，
∴切线在该点处的斜率k=-2．
∴f′（1）=-a-2a²+1=-2，又a＞0，
解得a=-

3

2

．
（II）f′（x）=

x2-ax-2a2

x2

=

(x-2a)(x+a)

x2

（x＞0）．
∵a＜0，∴x-2a＞0．
令f′（x）=0，解得x=-a．
令f′（x）＞0，解得x＞-a，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜-a，此时函数f（x）单调递减．
（III）证明：当a∈（-∞，0）时，由（II）可得：g（a）=-aln（-a）-3a．
g′（a）=-ln（-a）-4，
令g′（a）=0，解得a=-e^-4．
令g′（a）＜0，解得a＜-e^-4，此时函数g（a）单调递减；令g′（a）＞0，解得0＜a＜-e^-4，此时函数g（a）单调递增．
∴g（a）≥e^-4ln（e^-4）+3e^-4=-e^-4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、几何意义，考查了利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．