Question

合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50

3

米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）在直角三角形中写出三边长的公式，从而得到周长公式，根据题意写出定义域即可；
（2）利用换元法，设t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，从而得到l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]，从而求最小值．

解答： 解：（1）在Rt△BOE中，OE=

50

cosα

，
在Rt△AOF中，OF=

50

sinα

在Rt△OEF中，EF=

50

sinαcosα

，
当点F在点D时，角α最小，α=

π

6

，
当点E在点C时，角α最大，α=

π

3

，
则l=

50(sinα+cosα+1)

sinαcosα

，
定义域为[

π

6

，

π

3

]．
（2）设t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，
则

3 +1

2

≤t≤

2

，
l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]．
则当α=

π

4

时，lmin=100(

2

+1)，
总费用最低为80000(

2

+1)元．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及最值的求法，属于中档题．