Question

设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x²-6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、e
• D、

  3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,新定义,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：函数y=H（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）++x02-6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，

2

是一个“类对称点”的横坐标．

解答： 解：函数y=h（x）在其图象上一点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为：
y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀，
设m（x）=h（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）-x₀²+6x₀-4lnx₀，
则m（x₀）=0．
m′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

xx0

）=

2

x

（x-x₀）（x-

2

x0

）
若x₀＜

2

，φ（x）在（x₀，

2

x0

）上单调递减，
∴当x∈（x₀，

2

x0

）时，m（x）＜m（x₀）=0，此时

m(x)

x-x0

＜0；
若x₀＞

2

，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上单调递减，
∴当x∈（

2

x0

，x₀）时，m（x）＞m（x₀）=0，此时

m(x)

x-x0

＜0；
∴y=h（x）在（0，

2

）∪（

2

，+∞）上不存在“类对称点”．
若x₀=

2

，

2

x

（x-

2

）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，m（x）＞m（x₀）=0，
当x＜x₀时，m（x）＜m（x₀）=0，故

m(x)

x-x0

＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=h（x）存在“类对称点”，

2

是一个“类对称点”的横坐标．
故选B．

点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．