题目内容
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足AP=B1Q，则下列命题正确的是①存在P、Q的某一位置，使AB∥PQ；
②△BPQ的面积为定值；
③当PA＞0时，直线PB1与AQ是异面直线；
④无论P、Q运动到任一位置，均有BC⊥PQ；
⑤P、Q在运动过程中，线段PQ在平面BCC1B1内的射影所形成区域的面积为
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考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：①P、Q分别为AD1和B1C的中点时，AB∥PQ，可判断①；
②当P在A处时，△BPQ的面积为
，当P在AD1中点时，△BPQ的面积为
，可判断②；
③当PA＞0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，可导出矛盾，可判断③；
④依题意，利用三垂线定理可得BC⊥PQ，可判断④；
⑤P点在平面BCC1B1内的射影点的轨迹为线段BC1，设B1C∩BC1=O，线段PQ在平面BCC1B1内的射影所形成的区域为△B1OB和△C1OC，可求得其面积，可判断⑤．
②当P在A处时，△BPQ的面积为
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③当PA＞0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，可导出矛盾，可判断③；
④依题意，利用三垂线定理可得BC⊥PQ，可判断④；
⑤P点在平面BCC1B1内的射影点的轨迹为线段BC1，设B1C∩BC1=O，线段PQ在平面BCC1B1内的射影所形成的区域为△B1OB和△C1OC，可求得其面积，可判断⑤．
解答：
解：①，P、Q分别为AD1和B1C的中点时，AB∥PQ，故①正确；
②，P在A处时，△BPQ的面积为
，P在AD1中点时，△BPQ的面积为
，面积不是定值，故②错误；
③，当PA＞0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，矛盾，所以直线PB1与AQ是异面直线，故③正确；
④，BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PQ，故④正确；
⑤，P点在平面BCC1B1内的射影点的轨迹为线段BC1，设B1C∩BC1=O，则线段PQ在平面BCC1B1内的射影所形成的区域为△B1OB和△C1OC，故面积为
，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
②，P在A处时，△BPQ的面积为
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③，当PA＞0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，矛盾，所以直线PB1与AQ是异面直线，故③正确；
④，BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PQ，故④正确；
⑤，P点在平面BCC1B1内的射影点的轨迹为线段BC1，设B1C∩BC1=O，则线段PQ在平面BCC1B1内的射影所形成的区域为△B1OB和△C1OC，故面积为
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故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间线面之间的位置关系的判断，考查射影定理的应用，突出考查转化思想与空间想象能力，是难题．
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