已知点A在曲线P：y=x²（x＞0）上，⊙A过原点O，且与y轴的另一个交点为M．若线段OM，⊙A和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列）是正方形，则称点A为曲线P的“完美点”．那么下列结论中正确的是（　　）

已知焦点在x轴上的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2

3

，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点．
（1）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值；
（2）求|AB|的最小值．

已知f（x）=lnx+

a

x

，
（1）若f（x）_min=0，求a的值；
（2）当x∈[

1

e

，1]时，0≤f（x）≤

1

2

恒成立，求a的范围；
（3）证明：1+

1

2

+

1

3

+

1

n

＜2ln

n+1

2

+

3n+5

4(n+1)

（n≥2）．

已知抛物线y²=2px（p＞0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，且|AB|≤2p．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且p=4，求点N到直线l的距离．

已知直线l：x-y-m=0经过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，l与C交与A，B两点，若|AB|=6．则p的值为．

如图，已知直线l与顶点在原点O，焦点在y轴的正半轴上的抛物线C相交于A，B两点，且OA⊥OB，垂足D的坐标为（1，2）．
（1）求直线l的方程；
（2）求抛物线C的方程．

已知点A（-1，m）在抛物线C：y²=4x的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，若直线BF的斜率为

4

3

，则m=（　　）

过点（0，1）的直线与抛物线y²=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线共有（　　）条．

已知抛物线C：y²=2x上一点P到y轴的距离为3，则 P到焦点的距离为（　　）

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C₁上任意一点，且

PF1

•

PF2

最大值的取值范围是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．
（1）求椭圆C₁的离心率e的取值范围；
（2）设双曲线C₂以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．