Question

已知点A在曲线P：y=x²（x＞0）上，⊙A过原点O，且与y轴的另一个交点为M．若线段OM，⊙A和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列）是正方形，则称点A为曲线P的“完美点”．那么下列结论中正确的是（　　）

• A、曲线P上不存在“完美点”
• B、曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1
• C、曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于

  1

  2

  且小于1
• D、曲线P上存在两个“完美点”，其横坐标均大于

  1

  2

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：假设点A为“完美点”，画出图象，设A（m，m²），通过讨论m＜1时，m≥1时的情况从而得到答案．

解答： 解：如下图左，如果点A为“完美点”，则AB=AD=

2

2

AC=

2

2

OA，
以A为圆心，

2

2

OA为半径作圆T（如下图右中虚线圆），
交y轴于点B，B′（可重合），交抛物线于点D，D′，
点A为“完美点”当且仅当AB⊥AD，若下图右，
（结合图象知，B点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在D点使得AB⊥AD；
D也一定是上方的交点，否则A，B，C，D不是顺时针），
，，
下面考虑当点A的横坐标越来越大时∠BAD的变化情况，
设A（m，m²），当m＜1时，∠AOY=45°，
此时圆T与y轴相离或相切时，此时A不是完美点，
故只需考虑m≥1，当m增加时，∠BAD越来越小，且趋近于0，（推理在后面），
而当m=1时，∠BAD＞90°，
故曲线P上存在唯一一个完美点，其横坐标大于1，
当m增加时，∠BAD越来越小，且趋近于0°的推理：
过A作AH⊥y轴于点H，
分别过点A，D作x轴，y轴的平行线交于N，
先考虑∠BAH：cos∠BAH=

m

2 2 m2+m4

=

2

1+m2

，
于是m增大时，cos∠BAH减小且趋于0，从而∠BAH增大，且趋于90°，
再考虑∠DAN，记D（n，n²），则tan∠DAN=

n2-m2

n-m

=n+m，
随着m的增大，OA的长增大，AD=

2

2

OA也增大，
于是m+n增大，从而tan∠DAN增大，∠DAN增大且趋近于90°，
∴∠BAD=π-∠BAH-∠DAN随着m的增大而减小，且趋于0°，
故选：B．

点评：本题考查了新定义问题，考查了二次函数的性质，考查了数形结合思想，本题有一定难度．