Question

已知焦点在x轴上的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2

3

，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点．
（1）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）首先根据条件求出椭圆的方程，
（Ⅱ）（1）用分类讨论的方法先设直线的特殊形式，再设一般式，建立直线和椭圆的方程组，再利用韦达定理的应用求出关系量，（2）用三角形的面积相等，则利用点到直线的距离求出定值，最后利用不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）2c=2

3

，2a=4，
所以：a=2，c=

3

则：b²=a²-c²=1
所以椭圆的标准方程为：

x2

4

+y2=1
解：（Ⅱ）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
证明：①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x
将y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2

5

5

所以点O到直线AB的距离为d=

2

5

5

，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆

x2

4

+y2=1
联立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
则：x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

因为OA⊥OB，所以：x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以：(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理得：5m²=4（1+k²），
所以点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

综上可知点O到直线AB的距离为定值

2 5

5

．
解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面积相等，
利用点O到直线AB的距离为d，
则：d•|AB|=|OA|•|OB|
又因为2|OA|•|OB|≤|OA|²+|OB|²=|AB|²，所以|AB|²≥2d•|AB|
所以|AB|≥|AB|≥2d=

4 5

5

，
当|OA|=|OB|时取等号，即|AB|的最小值是

4

5

5

点评：本题考查的知识要点：椭圆标准方程的求法，直线和曲线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理的应用，不等式的应用．属于中档题型．