Question

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C₁上任意一点，且

PF1

•

PF2

最大值的取值范围是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．
（1）求椭圆C₁的离心率e的取值范围；
（2）设双曲线C₂以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用数量积运算、椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）当e=

1

2

时，a=2c，b=

3

c，可得C2：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）．设B（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），代入双曲线方程，当AB⊥x轴时，x₀=2c，y₀=3c，可得∠BF1A=

π

4

．故∠BAF1=

π

2

=2∠BF1A，猜想λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A总成立，当x₀≠2c时，利用斜率计算公式可得tan2∠BF1A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(x02-c2)

=

-y02

x0-2c

=tan∠BAF1，即可．

解答： 解：（1）设P（x，y），又F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2，
又

x2

a2

+

y2

b2

=1得y2=b2-

b2x2

a2

，0≤x2≤a2，
∴

PF1

•

PF2

=(1-

b2

a2

)x2+b2-c2=

c2

a2

x2+b2-c2，
∴当x²=a²时，

PF1

•

PF2

取得最大值b²，
∴c²≤b²≤3c²，c²≤a²-c²≤3c²
∴

1

4

≤

c2

a2

≤

1

2

，即

1

4

≤e2≤

1

2

，
∴

1

2

≤e≤

2

2

．
（2）当e=

1

2

时，a=2c，b=

3

c，
∴C2：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）．
设B（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则

x02

c2

-

y02

3c2

=1，
当AB⊥x轴时，x₀=2c，y₀=3c，
则tan∠BF1A=

3c

3c

=1，∴∠BF1A=

π

4

．
故∠BAF1=

π

2

=2∠BF1A，猜想λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A总成立，
当x₀≠2c时，tan∠BAF1=

-y0

x0-a

=

-y0

x0-2c

，tan∠BF1A=

y0

x0+c

∴tan2∠BF1A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

，
又y02=3c2(

x02

c2

-1)=3(x02-c2)
∴tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3( x 2 0 -c2)

=

-y0

x0-2c

=tan∠BAF₁，
又2∠BF₁A与∠BAF₁同在(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)内，
∴2∠BF₁A=∠BAF₁，
故存在λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立．

点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，重点落脚在椭圆的性质和运用上，了解双曲线基本知识，然后利用研究圆锥曲线的思想和方法，通过类比的方式解决问题，将常用的创新思想：归纳、猜想、证明用于解题之中．学数学不仅仅是要会解数学题，更重要的是学会用数学的眼光看世界，用数学的方法解决问题，属于难题．