题目内容
如图，已知直线l与顶点在原点O，焦点在y轴的正半轴上的抛物线C相交于A，B两点，且OA⊥OB，垂足D的坐标为（1，2）．（1）求直线l的方程；
（2）求抛物线C的方程．
考点：抛物线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题意OD⊥AB且D的坐标为（1，2），求出OD的斜率，由两条直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程；
（2）由题意设抛物线的方程是x2=2py（p＞0）和点A、B的坐标，联立直线l的方程消去y，利用韦达定理求出x1+x2和x1x2，由OA⊥OB得
•
=0，利用向量的数量积运算化简，列出关于p的方程求解即可．
（2）由题意设抛物线的方程是x2=2py（p＞0）和点A、B的坐标，联立直线l的方程消去y，利用韦达定理求出x1+x2和x1x2，由OA⊥OB得
| OA |
| OB |
解答：
解：（1）由题意得，OD⊥AB，且D的坐标为（1，2），
则OD的斜率是2，所以直线l的斜率是-
，
所以直线l的方程是y-2=-
(x-1)，即x+2y-5=0；
（2）设抛物线的方程是x2=2py（p＞0），且A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得，x2+px-5p=0，
则△=p2+20p＞0，且x1+x2=-p，x1x2=-5p，
因为OA⊥OB，所以
•
=0，
则x1x2+y1y2=0，即x1x2+
=0，
所以-5p+
=0，解得p=
，
所以抛物线的方程是x2=
y．
则OD的斜率是2，所以直线l的斜率是-
| 1 |
| 2 |
所以直线l的方程是y-2=-
| 1 |
| 2 |
（2）设抛物线的方程是x2=2py（p＞0），且A（x1，y1），B（x2，y2），
由
|
则△=p2+20p＞0，且x1+x2=-p，x1x2=-5p，
因为OA⊥OB，所以
| OA |
| OB |
则x1x2+y1y2=0，即x1x2+
| x12x22 |
| 4p2 |
所以-5p+
| 25p2 |
| 4p2 |
| 5 |
| 4 |
所以抛物线的方程是x2=
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查直线、抛物线的方程，垂直问题转化为两条直线垂直的条件、向量的数量积问题，以及韦达定理的应用，直线与圆锥曲线的关系．
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| A、{1} |
| B、{0，1，3，-1} |
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| D、{0，1，3} |
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| A、曲线P上不存在“完美点” | ||
| B、曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1 | ||
C、曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于
| ||
D、曲线P上存在两个“完美点”，其横坐标均大于
|