Question

过点（0，1）的直线与抛物线y²=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线共有（　　）条．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（法一）先看当直线斜率不存在时是否成立，再看直线斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，对二次项的系数分类讨论，再由判别式等于0时求k的值：
（法二）判断出点（0，1）在抛物线y²=4x的外部，则过（0，1）的直线与抛物线y²=4x相切的直线有两条，此外还有一条与x轴平行的直线，与抛物线也有一个交点，即可得到满足条件的直线的条数．

解答： 解：（法一）①当直线斜率不存在时，直线的方程为x=0，与抛物线方程联立求得x=0，y=0，
此时直线与抛物线只有一个交点，
②当直线斜率存在时，设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
当k=0时，y=1代入抛物线求得x=1，此时直线与抛物线有一个交点，
当k≠0，要使直线与抛物线只有一个交点需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
综合可知要使直线与抛物线仅有个公共点，这样的直线有3条，
（法二）因为点（0，1）在抛物线y²=4x的外部，
所以过（0，1）的直线与抛物线y²=4x相切的直线有两条，
此外还有一条与x轴平行的直线，与抛物线也有一个交点，
所以满足条件的直线的条数是3．
故选：D．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和与抛物线相切的条件，体现了分类讨论的数学思想，设直线方程时，一定要考虑斜率不存在的情况．