Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，且|AB|≤2p．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且p=4，求点N到直线l的距离．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A、B的坐标和直线的方程，与抛物线方程联立消去y，由判别式大于0列出不等式，及x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，由弦长公式求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围列出不等式，联立两个不等式求出a的范围；
（2）由（1）和条件得方程：x²-2（a+4）x+a²=0，由韦达定理得x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，求出AB的中点坐标，再求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0求出N的坐标，由点到直线的距离公式求出点N到直线l的距离．

解答： 解：（1）设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则过动点M（a，0）且斜率为1的直线l的方程为y=x-a，
将y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，
所以△=4（a+p）²-4a²＞0，即（a+p）²-a²＞0，①
且x₁+x₂=2（a+p），x1x2=a2，
因为|AB|≤2p，
所以|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(2a+p)

≤2p，②，
由①②得，-

p

2

＜a≤-

p

4

，
所以实数a的取值范围是(-

p

2

，-

p

4

]；
（2）由（1）得，将y=x-a代入y²=2px得，x²-2（a+p）x+a²=0，
又p=4，则上式为x²-2（a+4）x+a²=0，
则x₁+x₂=2（a+4），x1x2=a2，
所以AB的中点坐标D（a+4，4），
则线段AB的垂直平分线方程是：y-4=-（x-a-4），即y=-x+a+8，
令y=0代入得x=a+8，则N的坐标是（a+8，0），
所以点N到直线l的距离d=

|a+8-0-a|

2

=4

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式，韦达定理等，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．