题目内容
某地汽车最大保有量为60万辆，为了确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量，已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量与空置率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．
（空置量=最大保有量-实际保有量，空量率=
）
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）求汽车年增长量y的最大值；
（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
（空置量=最大保有量-实际保有量，空量率=
| 空置量 |
| 最大保有量 |
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）求汽车年增长量y的最大值；
（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
考点：函数模型的选择与应用
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）根据条件即可写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）结合一元二次函数的性质即可求汽车年增长量y的最大值；
（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，满足实际保有量x与汽车年增长量y的和小于最大保有量60时，建立不等式关系即可求k的取值范围．
（Ⅱ）结合一元二次函数的性质即可求汽车年增长量y的最大值；
（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，满足实际保有量x与汽车年增长量y的和小于最大保有量60时，建立不等式关系即可求k的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵空量率=
，
∴空量率=
，
从而y=k•x（
）=
（-x2+60x），
即y关于x的函数关系式为y=
（-x2+60x），（0＜x＜60）；
（Ⅱ）∵y=
（-x2+60x）=
[-（x-30）2+900]，（0＜x＜60）；
∴当x=30时，函数的最大值为15k，
故汽车年增长量y的最大值为15k；
（Ⅲ）根据实际意义，实际保有量x与汽车年增长量y的和小于最大保有量60时，
即0＜x+y＜60，
则当汽车年增长量达到最大值时，0＜x+15k＜60，
解得-2＜k＜2，
∵k＞0，∴0＜k＜2，
即k的取值范围是（0，2）．
| 空置量 |
| 最大保有量 |
∴空量率=
| 60-x |
| 60 |
从而y=k•x（
| 60-x |
| 60 |
| k |
| 60 |
即y关于x的函数关系式为y=
| k |
| 60 |
（Ⅱ）∵y=
| k |
| 60 |
| k |
| 60 |
∴当x=30时，函数的最大值为15k，
故汽车年增长量y的最大值为15k；
（Ⅲ）根据实际意义，实际保有量x与汽车年增长量y的和小于最大保有量60时，
即0＜x+y＜60，
则当汽车年增长量达到最大值时，0＜x+15k＜60，
解得-2＜k＜2，
∵k＞0，∴0＜k＜2，
即k的取值范围是（0，2）．
点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，则BD的值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
关于x的不等式sin2x+acosx-a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A、（-1，
| ||
B、[-1，
| ||
C、（-∞，-1]∪[
| ||
D、（-∞，-1）∪（
|
已知函数f（x）=
是定义域上的单调减函数，则a的取值范围是（ ）
|
| A、（1，+∞） | ||||
| B、[2，+∞） | ||||
| C、（1，2） | ||||
D、[
|
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1-B1C1E的体积等于（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|