Question

已知f（x）=x²-2ax+2
（1）若f（x）在区间[2a-1，2a+1]为单调函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[2，4]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）配方法化简f（x）=（x-a）²+2-a²，从而得到对称轴方程为x=a；从而求a；
（2）因为f（x）的对称轴方程为x=a，可按对称轴与区间的关系分三种情况讨论即可．

解答： 解：（1）f（x）=（x-a）²+2-a²，对称轴方程为x=a；
f（x）在区间[2a-1，2a+1]为单调函数，
∴a≤2a-1或a≥2a+1，
∴a≥1或a≤-1；
（2）因为f（x）的对称轴方程为x=a，可分以下三种情况：
①当a＜2时，f（x）在[2，4]上为增函数，
所以f（x）_min=f（2）=6-4a；
②当2≤a＜4时，f（a）为最小值，
f(x)min=2-a2； 
③当a≥4时，f（x）在[2，4]上为减函数，
所以f（x）_min=f（4）=18-8a，
综上所述：f（x）_min=

6-4a，a＜2 2-a2，2≤a＜4 18-8a，a≥4

．

点评：本题考查了二次函数的性质应用，属于基础题．