Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为

3 10

10

，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为

2 3

3

，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  10

• B、

  3

• C、

  10

  3

• D、

  7

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线渐近线的倾斜角之间的关系求出a，b的关系，结合条件求出a，b，c即可．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线为y=

b

a

x，
∵一条渐近线的倾斜角的余弦值为

3 10

10

，不妨设cosα=

3 10

10

，
∴sinα=

10

10

，则tanα=

1

3

，
即tanα=

1

3

=

b

a

，即a=3b．
∵双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为

2 3

3

，
∴双曲线过点（c，

3

3

），
即

c2

a2

-

1 3

b2

=1，
解得b=

3

，a=3

3

，c=

30

，
则该双曲线的离心率等于

c

a

=

30

3 3

=

10

3

，
故选：C

点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立a，b，c的关系是解决本题的关键．