Question

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂），则函数f（x）在点（0，0）处的切线方程为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质得到a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇，把已知的a₁=1，a₂₀₁₂=4代入，求出a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值，然后由函数解析式，利用求导法则求出f′（x），并把x=0代入导函数中，表示出f′（0），利用乘法运算律整理后，将求出的a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值代入，利用同底数幂的运算法则化简后，得出f′（0）的值，即为函数在（0，f（0））处的斜率，进而确定出函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程．

解答： 解：∵等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=4，
∴a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇=4=2²，
∵f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂），
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₂₀₁₂）=a₁•a₂•…•a₂₀₁₂
=（a₁a₂₀₁₂）•（a₂a₂₀₁₁）•…•（a₁₀₀₆a₁₀₀₇）
=2²•2²•…•2²（1006个2²相乘）=2^1006×2=2²⁰¹²，
∴函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程y-f（0）=2²⁰¹²（x-0），即y=2²⁰¹²x．
故答案为：y=2²⁰¹²x．

点评：本题考查了等比数列的性质，求导法则，利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及直线的点斜式方程，其中利用等比数列的性质及求导法则求出f′（0）的值及切线方程的斜率是解本题的关键．