Question

如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA₁H₁=α．
（1）试用α表示△AA₁H₁的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题

分析：（1）先求出AH₁，再用α表示△AA₁H₁的面积；
（2）令t=sinα+cosα∈(1，

2

]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况．

解答： 解：（1）设AH₁为x，∴x+

x

sinα

+

x

tanα

=4，x=

4sinα

sinα+cosα+1

，…（3分）
S△AA1H1=

1

2

•

x2

tanα

=

8sinαcosα

(sinα+cosα+1)2

，α∈(0，

π

2

)，…（7分）
（2）令t=sinα+cosα∈(1，

2

]，…（9分）
只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，
即为S=

4(t2-1)

(t+1)2

=4-

8

t+1

，…（11分）
当t=

2

，即α=45°时，S△AA1H1达到最大                       …（13分）
此时八角形所覆盖面积的最大值为64-32

2

．                  …（14分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．