Question

解关于x的不等式ax²-（2a+3）x+6＜0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：原不等式等价为（ax-3）（x-2）＜0，分a＞0，a=0和a＜0三种情况，分别解答，即可得到答案．

解答： 解：原不等式等价为（ax-3）（x-2）＜0．
（1）当a=0时，原不等式为-3（x-2）＜0，解得x＞2．即原不等式的解集为（2，+∞）．
（2）若a＞0，则原不等式可化为a（x-

3

a

）（x-2）＜0，即（x-

3

a

）（x-2）＜0成立，
对应方程（x-

3

a

）（x-2）=0的根为x=2或x=

3

a

．
当

3

a

＞2，即0＜a＜

3

2

时，不等式的解为（2，

3

a

）．
当a=

3

2

时，不等式的解集为空集．
当

3

a

＜2，即a＞

3

2

时，不等式的解为（

3

a

，2）．
（3）若a＜0，则原不等式可化为a（x-

3

a

）（x-2）＜0，
即（x-

3

a

）（x-2）＞0成立，对应方程（x-

3

a

）（x-2）=0的根为x=2或x=

3

a

．
所以

3

a

＜2，所以不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，

3

a

）．
综上：（1）当a=0时，不等式的解集为（2，+∞）．
（2）0＜a＜

3

2

时，不等式的解集为（2，

3

a

）．
当a=

3

2

时，不等式的解集为空集．
当a＞

3

2

时，不等式的解集为（

3

a

，2）．
（3）当a＜0时，不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，

3

a

）．

点评：本题主要考查含有参数的不等式的解法，要对参数进行讨论，然后根据一元二次不等式的解法求不等式的解．