Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，过椭圆上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别交椭圆于不同两点A、B．
（Ⅰ）求证：直线AB的斜率为一定值；
（Ⅱ）若直线AB与y轴的交点Q满足：3

QA

+

QB

=

0

，求直线AB的方程；
（Ⅲ）若在椭圆上存在关于直线AB对称的两点，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出椭圆的方程，设直线AB方程为y=kx+m（2k+m≠1），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合直线PA、PB的倾斜角互补，即可求出直线AB的斜率为一定值．
（Ⅱ）设直线AB方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求出直线AB方程；
（Ⅲ）设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）为椭圆上关于直线AB对称的两点，求出MN中点，利用点在椭圆内，即可求直线AB在y轴上截距的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：设椭圆方程为

x2

a2

+

y 2

b2

=1(a＞b＞0)，
所以椭圆方程为

x2

6

+

y 2

3

=1．   …（3分）
设直线AB方程为y=kx+m（2k+m≠1），
由

y=kx+m x2 6 + y2 3 =1

消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2= -4km 1+2k2 x1x2= 2m2-6 1+2k2

，
因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0，
所以

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，
所以（kx₁+m-1）（x₂-2）+（kx₂+m-1）（x₁-2）=0，
所以2kx₁x₂+（m-2k-1）（x₁+x₂）+4-4m=0，即（k-1）（2k+m-1）=0，解得k=1．
所以直线AB的斜率为一定值．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可设直线AB方程为y=x+m，则Q（0，m），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
由3

QA

+

QB

=

0

得3x₁+x₂=0．
由

y=x+m x2 6 + y2 3 =1

得3x2+4mx+2m2-6=0，所以

x1+x2= -4m 3 x1x2= 2m2-6 3

，
解得m=1，所以直线AB方程为y=x+1．…（10分）
（Ⅲ）解：设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）为椭圆上关于直线AB对称的两点，则kMN=

y3-y4

x3-x4

=-1
设MN中点为D（x₀，y₀），则x₃+x₄=2x₀，y₃+y₄=2y₀，
由

x 2 3 6 + y 2 3 3 =1 x 2 4 6 + y 2 4 3 =1

得

(x3+x4)(x3-x4)

6

+

(y3+y4)(y3-y4)

3

=0，x₀=2y₀
又y₀=x₀+m，所以x₀=-2m，y₀=-m
由点D（x₀，y₀）在椭圆内知

x 2 0

6

+

y 2 0

3

＜1，

4m2

6

+

m2

3

＜1，解得-1＜m＜1，
即为直线AB在y轴上截距的取值范围．…（15分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．