Question

给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p：?x∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空．
③当x＞1时，有lnx+

1

lnx

≥2．
④设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x²+y²≥4”的充分而不必要条件．
其中真命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用“非命题”的意义即可判断出；
②利用绝对值的几何意义即可判断出；
③利用基本不等式的性质即可得出；
④“x≥2且y≥2”⇒“x²+y²≥4”，反之不成立，即可判断出．

解答： 解：①命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p：?x∈R，sinx＞1，因此不正确．
②∵|x-4|+|x-3|≥1，∴当a=1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为空集，因此不正确．
③当x＞1时，lnx＞0，∴lnx+

1

lnx

≥2，正确．
④设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”⇒“x²+y²≥4”，反之不成立，
因此“x≥2且y≥2”是“x²+y²≥4”的充分而不必要条件．
综上可知：只有③④正确．
故答案为：2．

点评：本题考查了绝对值的几何意义、基本不等式的性质、简易逻辑有关知识，属于基础题．