题目内容

已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，2），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）．
（1）求a的取值范围；
（2）该二次函数的图象与直线y=2交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当a＞2时，试探索S1-S2是否为常数，若是求出该常数，若不是请说明理由．（提示：请先根据题目条件在给定的平面直角坐标系中画出示意图）
考点：二次函数的性质
专题：计算题,作图题,函数的性质及应用
分析：（1）由题意代入点，求出b，c，由根的判定求a的取值范围，（2）作图求出四点的坐标，求面积差．
解答： 解：（1）由题意，c=2，a+b+2=0，
则b=-a-2，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，
∴△=b2-4ac=（-a-2）2-4×2a=（a-2）2＞0，
又∵a＞0，
∴0＜a＜2或a＞2．
（2）如图，由ax2-（a+2）x+2=0解得，x=1或x=
2
a
，
则A（1，0），B（
2
a
，0）；
由ax2-（a+2）x+2=2解得，x=0或x=1+
2
a
，
则C（0，2），D（1+
2
a
，2）；
则S1-S2=
1
2
×（1+
2
a
-0）×（2×
1+
2
a
1+
2
a
+1-
2
a
）-
1
2
×（1-
2
a
）×（2-2×
1+
2
a
1+
2
a
+1-
2
a
）
=
1
2
×[（1+
2
a
-0）2-（1-
2
a
）2]=
4
a
不是常数．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，同时考查了作图能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=
(
1
2
)x，x≤0
f(x-1)，x＞0
，则f（log27）=（　　）
A、
4
7
B、
7
4
C、
8
7
D、
7
8
已知 f（x）=x2+ax+a+1，g（x）=x+1．
（Ⅰ） 若f（x）≥0对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
（Ⅱ） 若a=2，x＞-1，求
f(x)
g(x)
的最小值．
已知x轴上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn-1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1…的长度分别为a1，a2，a3，…，an…，其中a1=1．
（Ⅰ）写出a2，a3，a4；
（Ⅱ）证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3 (n∈N*)；
（Ⅲ）设点Mn（n，
1
an
）（n＞2，n∈N*），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=
k
(x-1)2
 (k＞0)的图象上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
当{1，a，
b
a
}={0，a2，a+b}时，求a，b的值．
已知f（x）=（x+1）（x-1）（x+2），求f′（x），f′（2），[f（2）]′．
已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求证：f（x）＞2g（
x-1
x+1
）；
（2）是否存在实数k，使方程
1
2
g(x2)-f(1+x2)=k有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
已知f（x）的定义[-1，1]上的增函数，求不等式f（x-1）＜f（1-3x）的解集．
（1）化简：
sin(2π-α)cos(π+α)cos(
π
2
+α)cos(
11π
2
-α)
cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin(
9π
2
+α)
．
（2）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB=
a
，AD=
b
，试用
a
、
b
表示BC和MN．

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