Question

已知x轴上有一列点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n-1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1…的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n…，其中a₁=1．
（Ⅰ）写出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3 (n∈N*)；
（Ⅲ）设点M_n（n，

1

an

）（n＞2，n∈N^*），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的图象上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意得出递推公式，写出即可；（2）用放缩法证明不等式成立，（3）化简，说明是递增数列即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n-1的点，
∴P_nP_n+1=（n-1）P_nP_n-1，
即a_n=（n-1）a_n-1，
则a₂=1，a₃=2，a₄=6；
（Ⅱ）证明：∵a_n=（n-1）a_n-1，
∴

a2

a1

=1，

a3

a2

=2，…，

an

an-1

=（n-1）；
∴a_n=（n-1）!（n≥2），
由于a₁=1也符合上式，
则a_n=（n-1）!
则

1

a1

+

1

a 2

+…+

1

an

=1+1+

1

2

+

1

3!

+…+

1

(n-1)!

＜1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

=1+

1(1-( 1 2 )n-1)

(1- 1 2 )

=3-

1

2n-2

＜3．
（Ⅲ）若点M_n（n，

1

an

）（n＞2，n∈N^*）在函数y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的图象上，
则k=

1

an

×（n-1）²=

n-1

(n-2)!

（n＞2，n∈N^*），
则在n＞2，n∈N^*时，k随着n增大而减小，
则不存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

 (k＞0)的图象上．

点评：本题综合考查了数列与不等式，在数列中注意递推公式的应用及等比数列前n项和公式，在不等式中要注意根据要证明的不等式适当的放缩．属于难题．