Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求证：f（x）＞2g（

x-1

x+1

）；
（2）是否存在实数k，使方程

1

2

g(x2)-f(1+x2)=k有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）构造函数，将不等式的证明化为函数单调性与最值的证明；（2）构造函数并求导，由数形结合求k的取值范围．

解答： 解：（1）证明：令h(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-

2x-2

x+1

，x＞1
h′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴f（x）＞2g（

x-1

x+1

）．
（2）设F（x）=

1

2

g（x²）-f（1+x²）=

1

2

x²-ln（1+x²），x∈R，
则F′（x）=

x(x+1)(x-1)

1+x2

，
令F′（x）=0解得，x=0或x=±1，
又∵F（x）在（-∞，-1）和（0，1）上递减，在（-1，0）和（1，+∞）上递增；
且F（-1）=F（1）=

1

2

-ln2＜0，F（0）=0；
∴k的取值范围是（

1

2

-ln2，0）．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明方法，属于中档题．