Question

已知 f（x）=x²+ax+a+1，g（x）=x+1．
（Ⅰ） 若f（x）≥0对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
（Ⅱ） 若a=2，x＞-1，求

f(x)

g(x)

的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据二次函数图象及图象与x轴交点的情况和判别式△的关系，即可得到限制a的不等式，解不等式即可得a的取值范围；
（Ⅱ）根据a=2求出

f(x)

g(x)

并整理成(x+1)+

2

x+1

，因为x＞-1，所以x+1＞0，所以根据基本不等式即可求出

f(x)

g(x)

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）≥0对于任意x∈R恒成立，则：
△=a²-4（a+1）≤0，解得2-2

2

≤a≤2+2

2

；
即a的取值范围为[2-2

2

，2+2

2

]；
（Ⅱ）

f(x)

g(x)

=

x2+2x+3

x+1

=

(x+1)2+2

x+1

=x+1+

2

x+1

；
∵x＞-1，∴x+1＞0，∴x+1+

2

x+1

≥2

2

，即

f(x)

g(x)

≥2

2

；
∴

f(x)

g(x)

的最小值为2

2

．

点评：考查二次函数图象和x轴交点的情况与判别式△的关系，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．