Question

（本小题满分12分）
如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，。
（Ⅰ）证明：四点共面；
（Ⅱ）设，求二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得


延长交的延长线于
同理可得
　　   
故，即与重合
因此直线相交于点，即四点共面。
（Ⅱ）设，则，
取中点，则，又由已知得，平面
故，与平面内两相交直线都垂直。
所以平面，作，垂足为，连结
由三垂线定理知为二面角的平面角。
　　　
故
所以二面角的大小
解法二：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系。

（Ⅰ）设，则
　　，
，
故，从而由点，得，
故四点共面。
（Ⅱ）设，则，
，
在上取点，使，则，
从而，
又，
在上取点，使，则，
从而。
故与的夹角等于二面角的平面角，
　　，
所以二面角的大小。