Question

如图，平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=90⁰, ∠BDC=60⁰,BC=6,AB=AC．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A—CD—B的平面角的正切值；
（Ⅲ）设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。

Answer 1

(1)证明见解析(2) 2(3)

（Ⅰ）证明  ∵平面ACB⊥平面BCD，∠CBD=90⁰，
∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA．又∠CAB=90⁰，∴CA⊥平面ADB
∴平面ACB⊥平面BCD． ——————————4分
（Ⅱ）解 设BC的中点为E，作EF⊥CD，垂足为F，连结AF。

∵AC=AB，∴AE⊥BC，∵平面ACB⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD,
∴FE是AF在平面BCD内的射影，
∴AF⊥CD,
即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。                        ———————6分
在等腰直角△ABC中，斜边BC="6," ∴AE=3，且CE=3,
在Rt△CEF中，∠ECF=30⁰, ∴EF=,
∴tan∠AFE=，即二面角A—CD—B的平面角的正切值是2． ———————8分
（Ⅲ）解 如图，设DC的中点为G，分别以直线EG．EB．EA为x．y．z轴，建立空间直角坐标系E—xyz．

∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(,3,0)
,，
设过AD和BC平行的平面的一个法向量是n=（a,b,c），则有
且，即
且3b=0,取得n=，
∴点B到的距离d=。    ———————12分