题目内容
如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900, ∠BDC=600,BC=6,AB=AC.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;
(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为
,求点B到平面
的距离。
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;
(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为



(1)证明见解析(2) 2(3)

(Ⅰ)证明 ∵平面ACB⊥平面BCD,∠CBD=900,
∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA.又∠CAB=900,∴CA⊥平面ADB
∴平面ACB⊥平面BCD. ——————————4分
(Ⅱ)解 设BC的中点为E,作EF⊥CD,垂足为F,连结AF。

∵AC=AB,∴AE⊥BC,∵平面ACB⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,
∴FE是AF在平面BCD内的射影,
∴AF⊥CD,
即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。 ———————6分
在等腰直角△ABC中,斜边BC="6," ∴AE=3,且CE=3,
在Rt△CEF中,∠ECF=300, ∴EF=
,
∴tan∠AFE=
,即二面角A—CD—B的平面角的正切值是2. ———————8分
(Ⅲ)解 如图,设DC的中点为G,分别以直线EG.EB.EA为x.y.z轴,建立空间直角坐标系E—xyz.

∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(
,3,0)
,
,
设过AD和BC平行的平面
的一个法向量是n=(a,b,c),则有
且
,即
且3b=0,取
得n=
,
∴点B到
的距离d=
。 ———————12分
∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA.又∠CAB=900,∴CA⊥平面ADB
∴平面ACB⊥平面BCD. ——————————4分
(Ⅱ)解 设BC的中点为E,作EF⊥CD,垂足为F,连结AF。

∵AC=AB,∴AE⊥BC,∵平面ACB⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,
∴FE是AF在平面BCD内的射影,
∴AF⊥CD,
即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。 ———————6分
在等腰直角△ABC中,斜边BC="6," ∴AE=3,且CE=3,
在Rt△CEF中,∠ECF=300, ∴EF=

∴tan∠AFE=

(Ⅲ)解 如图,设DC的中点为G,分别以直线EG.EB.EA为x.y.z轴,建立空间直角坐标系E—xyz.

∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(




设过AD和BC平行的平面






∴点B到



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