题目内容
如图1，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A-DEF如图2．（Ⅰ）求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值；
（Ⅱ）设点M、N分别在AD、EF上，
| AM |
| MD |
| EN |
| NF |
①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段？请证明你的结论；
②设异面直线MN与AE所成的角为α，异面直线MN与DF所成的角为β，试求α+β的值．
考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）取DE的中点G，连结AG、FG，则∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角，由此能求出平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值．
（Ⅱ）①当λ=1时，M为AD中点，N为EF中点，连结AN，DN，由题意知AN=DN=
，从而MN⊥AD，同理可证MN⊥EF，由此得到λ=1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线．
②过点M作MH∥DF，交AF于H，则∠HNM为异面直线MN与DF所成的角，由HN∥DF，得
=
，又
=
，从而
=
，HN∥AE，∠MNH为异面直线MN与AE所成的角，由此能推导出α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN=
．
（Ⅱ）①当λ=1时，M为AD中点，N为EF中点，连结AN，DN，由题意知AN=DN=
| ||
| 2 |
②过点M作MH∥DF，交AF于H，则∠HNM为异面直线MN与DF所成的角，由HN∥DF，得
| AH |
| HF |
| AM |
| MD |
| AM |
| MD |
| EN |
| NF |
| AH |
| HF |
| EN |
| NF |
| π |
| 2 |
解答：
（Ⅰ）解：如图，取DE的中点G，连结AG、FG，
由题意得AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角，
由题意得AG=FG=
，
在△AGF中，
cos∠AFG=
=
．
（Ⅱ）①当λ为1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线．
当λ=1时，M为AD中点，N为EF中点，
连结AN，DN，
由题意知AN=DN=
，
∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF，
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线．
②过点M作MH∥DF，交AF于H，
则∠HNM为异面直线MN与DF所成的角，
由HN∥DF，得
=
，又
=
，
∴
=
，
∴HN∥AE，∠MNH为异面直线MN与AE所成的角，
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN，
由题意得，三棱锥A-DEF是正棱锥，
则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O，
∵AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，∴AE⊥DF，
又∵HN∥AE，∴∠MNH=
，
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN=
．
由题意得AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角，
由题意得AG=FG=
| ||
| 2 |
在△AGF中，
cos∠AFG=
(
| ||||||||
2×
|
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）①当λ为1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线．
当λ=1时，M为AD中点，N为EF中点，
连结AN，DN，
由题意知AN=DN=
| ||
| 2 |
∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF，
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线．
②过点M作MH∥DF，交AF于H，
则∠HNM为异面直线MN与DF所成的角，
由HN∥DF，得
| AH |
| HF |
| AM |
| MD |
| AM |
| MD |
| EN |
| NF |
∴
| AH |
| HF |
| EN |
| NF |
∴HN∥AE，∠MNH为异面直线MN与AE所成的角，
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN，
由题意得，三棱锥A-DEF是正棱锥，
则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O，
∵AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，∴AE⊥DF，
又∵HN∥AE，∴∠MNH=
| π |
| 2 |
∴α+β=∠MNH+HMN=π-∠MHN=
| π |
| 2 |
点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查异面直线的公垂线的判断与求法，考查两角和的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
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