Question

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）

（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，
∴f（1）=

1

8

=k₁，g（1）=k₂=

1

2

，
∴f（x）=

1

8

x（x≥0），g（x）=

1

2

x

（x≥0）
（Ⅱ）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．
y=f（x）+g（20-x）=

x

8

+

1

2

20-x

（0≤x≤20）
令t=

20-x

，则y=

20-t2

8

+

1

2

t=-

1

8

（t-2）²+3
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y_max=3万元．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．