题目内容
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x-y|≤5}，事件F={|x-y|＞15}，求P（E∪F）．
考点：频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）求出第六组的频率，利用各小组的频率和等于1，求出第七组的频率；
（Ⅱ）根据各小组的频率以及中位数的概念，求出中位数的大小，再求出身高在180cm以上（含180cm）的频率与对应人数；
（Ⅲ）求出第六组、第八组的人数，从中随机抽取2人的基本事件数，事件E、F的概率P（E）、P（F），再求出P（E∪F）的值．
（Ⅱ）根据各小组的频率以及中位数的概念，求出中位数的大小，再求出身高在180cm以上（含180cm）的频率与对应人数；
（Ⅲ）求出第六组、第八组的人数，从中随机抽取2人的基本事件数，事件E、F的概率P（E）、P（F），再求出P（E∪F）的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵第六组的频率为
=0.08，
∴第七组的频率为
1-（0.008×5×2+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5+0.08）=0.06 …（4分）
（Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.20，
身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.20，
由于0.04+0.08+0.20+0.20=0.52＞0.5，0.52-0.50=0.02，
且
=
，5×
=0.5，∴170+0.5=170.5；
∴估计这所学校的800名男生的身高的中位数为170.5cm；（6分）
由直方图得后三组频率分别为0.08、0.06、0.04，
∴身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×（0.08+0.06+0.04）=144； …（8分）
（Ⅲ）第六组的人数为4人，第八组的人数为2人，从中随机抽取2人，共有
=15种情况，
∵事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，
∴事件E包含的基本事件为
+
=7共7种情况，∴P（E）=
；…（10分）
由于195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，∴P（F）=0；
由于事件E和事件F是互斥事件，∴P（E∪F）=P（E）+P（F）=
．…（12分）
| 4 |
| 50 |
∴第七组的频率为
1-（0.008×5×2+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5+0.08）=0.06 …（4分）
（Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.20，
身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.20，
由于0.04+0.08+0.20+0.20=0.52＞0.5，0.52-0.50=0.02，
且
| 0.02 |
| 0.2 |
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 10 |
∴估计这所学校的800名男生的身高的中位数为170.5cm；（6分）
由直方图得后三组频率分别为0.08、0.06、0.04，
∴身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×（0.08+0.06+0.04）=144； …（8分）
（Ⅲ）第六组的人数为4人，第八组的人数为2人，从中随机抽取2人，共有
| C | 2 6 |
∵事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，
∴事件E包含的基本事件为
| C | 2 4 |
| C | 2 2 |
| 7 |
| 15 |
由于195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，∴P（F）=0；
由于事件E和事件F是互斥事件，∴P（E∪F）=P（E）+P（F）=
| 7 |
| 15 |
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了互斥事件的概率问题，是综合题目．
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