Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是共面的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，2），|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$共线，求出|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|的模长即可；
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直数量积为0，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再讨论$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共线同向和反向时，求出$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，2），|
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，
又|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{6}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|+|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{6}$+$\sqrt{6}$=3$\sqrt{6}$，
或|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{6}$-$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即3×${（\sqrt{6}）}^{2}$-2×${（2\sqrt{3}）}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，
当$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共线同向时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$=12，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=${（\sqrt{6}）}^{2}$-6+12=12；
当$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共线反向时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$=-12，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=${（\sqrt{6}）}^{2}$-6-12=-12．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，也考查了共线定理的应用问题，是综合性题目．