Question

20．已知双曲线C的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，点（3，$\sqrt{2}$）在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，1）的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线的顶点不重合），当$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$=μ$\overrightarrow{QB}$，且λ•μ=-5时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为：x²-4y²=m（≠0），把点（3，$\sqrt{2}$）代入双曲线方程即可得出．
（2）由题意可得：直线l的斜率存在且不为0，则可设l的方程为：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得Q$（-\frac{1}{k}，0）$．
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$，可得：A点坐标，代入在双曲线上，整理可得：（1-k²）λ²+2λ+1-4k²=0，同理可得：（1-k²）μ²+2μ+1-4k²=0，可把λ，μ看作二次方程：（1-k²）x²+2x+1-4k²=0的两个实数根，利用λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5时，解得k即可得出．

解答 解：（1）设双曲线的方程为：x²-4y²=m（≠0），把点（3，$\sqrt{2}$）代入双曲线方程可得：x²-4y²=1．
（2）由题意可得：直线l的斜率存在且不为0，则可设l的方程为：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得Q$（-\frac{1}{k}，0）$．
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk}}\\{{y}_{1}=-\frac{1}{λ}}\end{array}\right.$，∵A在双曲线上，∴$（-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk}）^{2}$-4$（-\frac{1}{λ}）^{2}$=1，整理可得：（1-k²）λ²+2λ+1-4k²=0，同理可得：（1-k²）μ²+2μ+1-4k²=0，
若1-k²=0，则直线l经过顶点，舍去，∴1-k²≠0．
可把λ，μ看作二次方程：（1-k²）x²+2x+1-4k²=0的两个实数根，
∴λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5时，解得k²=$\frac{2}{3}$．
此时△＞0，∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则直线方程为：y═±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+1．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．